Question

11．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為$\frac{1}{2}$，點P為橢圓上一動點，△F₁PF₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線l與橢圓交于點A，B，且直線l的方程為y=kx+$\sqrt{3}$（k＞0），若O為坐標原點，求△OAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用離心率為$\frac{1}{2}$，點P為橢圓上一動點，△F₁PF₂面積的最大值為$\sqrt{3}$，求出橢圓的幾何量，由此能求出橢圓的方程；
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，整理得：$（4{k^2}+3）{x^2}+8\sqrt{3}kx=0$，由此利用橢圓弦長公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△OAB面積的最大值．

解答 解：（1）已知橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，不妨設c=t，a=2t，即$b=\sqrt{3}t$，其中t＞0，
又△F₁PF₂面積取最大值$\sqrt{3}$時，即點P為短軸端點，
因此$\frac{1}{2}•2t•\sqrt{3}t=\sqrt{3}$，解得t=1，則橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，整理得：$（4{k^2}+3）{x^2}+8\sqrt{3}kx=0$，…（6分）
解得：x₁=0或${x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}k}}{{4{k^2}+3}}$．
∵k＞0，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}|-\frac{{8\sqrt{3}k}}{{4{k^2}+3}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{8\sqrt{3}k}}{{4{k^2}+3}}$，…（8分）
原點O到直線l′的距離為$d=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．…（9分）
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{8\sqrt{3}k}}{{4{k^2}+3}}•\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{12k}{{4{k^2}+3}}=\frac{12}{{4k+\frac{3}{k}}}≤\frac{12}{{4\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$，
當且僅當$4k=\frac{3}{k}$，即$k=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時，△OAB面積的最大值為$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．