已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心（三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)）、外心（三條邊的中垂線交點(diǎn)）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三個(gè)高的交點(diǎn)）之一，且滿足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2，則點(diǎn)P一定是△ABC的（　�。�
分析：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，可得
AC
+
AB
=2
AD
．根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，將2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2化簡，得到2
BC
•（
AD
-
AP
）=0，從而得到
BC
•
PD
=0，即
BC
⊥
PD
，從而得到P在BC的垂直平分線上．由此根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合題意可得答案．
解答：解：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，可得
AC
+
AB
=2
AD

∵
AC
2-
AB
2=(
AC
 +
AB
 )(
AC
 -
AB
 )
∴點(diǎn)P滿足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2=2
AD
•（
AC
-
AB
）
∵向量
BC
=
AC
-
AB

∴2
AP
•
BC
=2
AD
•
BC
，移項(xiàng)得2
BC
•（
AD
-
AP
）=0
即
BC
•
PD
=0，得
BC
⊥
PD
．結(jié)合D為BC的中點(diǎn)，可得P在BC的垂直平分線上
又∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心、外心、重心和垂心之一
∴結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)，得點(diǎn)P是△ABC的外心
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形中的點(diǎn)P滿足的向量等式，求點(diǎn)P是三角形四心中的哪一個(gè)．著重考查了向量的線性運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)和三角形的四心等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•濟(jì)南二模）已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3．則λ2•λ3取最大值時(shí)，2x+y的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S3
S
=λ 3，
S 1
S
=λ 1，
S 2
S
=λ 2．則λ2•λ3取最大值時(shí)，2x+y的值為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，定義M（P）=（λ1，λ2，λ3）．當(dāng)λ2•λ3取最大值時(shí)，則M（P）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省臨沂市沂南縣大學(xué)臥龍學(xué)校高三（上）競賽數(shù)學(xué)試卷（理科）（復(fù)習(xí)班）（解析版） 題型：選擇題

已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn)，且EF∥BC，實(shí)數(shù)x，y滿足．設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，，．則λ2•λ3取最大值時(shí)，2x+y的值為（ ）
A．
B．
C．1
D．2

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