Question

12．2008年5月12日14時28分04秒，四川省阿壩藏族羌族自治州汶川縣發(fā)生里氏8.0級地震，地震造成69227人遇難，374643人受傷，17923人失蹤．重慶眾多醫(yī)務(wù)工作者和志愿者加入了抗災(zāi)救援行動．其中重慶三峽中心醫(yī)院外科派出由5名骨干醫(yī)生組成的救援小組，奔赴受災(zāi)第一線參與救援．現(xiàn)將這5名醫(yī)生分別隨機(jī)分配到受災(zāi)最嚴(yán)重的汶川縣、北川縣、綿竹三縣中的某一個．
（1）求每個縣至少分配到一名醫(yī)生的概率．
（2）若將隨機(jī)分配到汶川縣的人數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

分析 （1）5名醫(yī)生分3組共有2，2，1和1，1，3兩種分法，然后再將三組隨機(jī)分到三個縣共有${C}_{5}^{3}$${A}_{3}^{3}$+${C}_{5}^{1}$•$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{2}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$•${A}_{3}^{3}$種安排方法；若5名醫(yī)生隨機(jī)安排共3⁵種安排方法，根據(jù)古典概型概率公式可求得所求概率；
（2）每名醫(yī)生被分到汶川縣的概率都相等都等于$\frac{1}{3}$，所以分配到汶川的醫(yī)生人數(shù)ξ服從二項分布，根據(jù)二項分布概率公式可求其分布列及期望和方差．

解答 解：（1）P=$\frac{{{C}_{5}^{3}A}_{3}^{3}+\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{4}^{2}}{{A}_{2}^{2}}}{{3}^{5}}$=$\frac{50}{81}$；                             
（2）由條件可知，ξ～B（5，$\frac{1}{3}$），
故P（ξ=i）=${C}_{5}^{i}$${（\frac{1}{3}）}^{i}$${（\frac{2}{3}）}^{5-i}$，（i=0，1，2，…，5），
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

∴E（ξ）=np=5×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
D（ξ）=np（1-p）=5×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{9}$．

點評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差，是一道中檔題．