Question

4．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=1，k=5時，分別有S=$\frac{1}{3}$和S=$\frac{5}{11}$．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=3ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)程序框圖得出{a_n}為等差數(shù)列，利用k=1和k=5得出方程組解出a₁和d，即可得出a_n；
（2）使用錯位相減法求出T_n．

解答 解：（1）由程序框圖可知：{a_n}為等差數(shù)列，
$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{4}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$=$\frac{5}{11}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}cdvgqa8（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+d}）=\frac{1}{3}}\\{\frac{1}iahr25o（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+5d}）=\frac{5}{11}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
∴$2{T_n}=-3-2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）+{3^{n+1}}（2n-1）=6+{3^{n+1}}（2n-2）$，
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了程序框圖，等差數(shù)列的通項公式，錯位相減法數(shù)列求和．