Question

14．設(shè)$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$的整數(shù)部分為A，小數(shù)部分為B
（1）求出A，B；
（2）求A²+B²+$\frac{1}{2}$AB的值；
（3）求$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）的值．

Answer 1

分析 （1）將式子分母有理化得到$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，估計(jì)$\sqrt{5}$的取值范圍確定出整數(shù)部分A的值，即可求得小數(shù)部分B的值；
（2）將A和B代入A²+B²+$\frac{1}{2}$AB即可求得其值；
（3）由數(shù)列B，B²，B³，…，Bⁿ為首項(xiàng)為B公比B的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得B+B²+…+Bⁿ，根據(jù)B的取值范圍，即可求得$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）的值．

解答 解：（1）∵2＜$\sqrt{5}$＜3，
而設(shè)m=$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴2＜2m-3＜3，
解得：2.5＜m＜3，
則：A=2，B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
（2）將A=2，B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入得：
A²+B²+$\frac{1}{2}$AB=4+（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=5；
（3）數(shù)列B，B²，B³，…，Bⁿ為首項(xiàng)為B公比B的等比數(shù)列，
∵0＜B＜1，
∴前n項(xiàng)和$\frac{B（1-{B}^{n}）}{1-B}$，
$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{B（1-{B}^{n}）}{1-B}$）=$\frac{1}{1-B}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（1+B+B²+…+Bⁿ）=$\frac{1}{1-B}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求得等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列極限的定義及意義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．