分析 (1)將式子分母有理化得到$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,估計(jì)$\sqrt{5}$的取值范圍確定出整數(shù)部分A的值,即可求得小數(shù)部分B的值;
(2)將A和B代入A2+B2+$\frac{1}{2}$AB即可求得其值;
(3)由數(shù)列B,B2,B3,…,Bn為首項(xiàng)為B公比B的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得B+B2+…+Bn,根據(jù)B的取值范圍,即可求得$\underset{lim}{n→∞}$(1+B+B2+…+Bn)的值.
解答 解:(1)∵2<$\sqrt{5}$<3,
而設(shè)m=$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,
∴2<2m-3<3,
解得:2.5<m<3,
則:A=2,B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
(2)將A=2,B=m-2=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,代入得:
A2+B2+$\frac{1}{2}$AB=4+($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)2+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=5;
(3)數(shù)列B,B2,B3,…,Bn為首項(xiàng)為B公比B的等比數(shù)列,
∵0<B<1,
∴前n項(xiàng)和$\frac{B(1-{B}^{n})}{1-B}$,
$\underset{lim}{n→∞}$(1+B+B2+…+Bn)=$\underset{lim}{n→∞}$(1+$\frac{B(1-{B}^{n})}{1-B}$)=$\frac{1}{1-B}$,
∴$\underset{lim}{n→∞}$(1+B+B2+…+Bn)=$\frac{1}{1-B}$.
點(diǎn)評 本題考查求得等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,考查數(shù)列極限的定義及意義,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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