Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=-2x上，且圓M與直線x+y-1=0相切于點P（2，-1）．
（1）求圓M的方程；
（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為$\sqrt{6}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求求出圓心坐標與半徑，即可求出圓M的方程；
（2）分類討論，利用點到直線的距離公式，結(jié)合過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為$\sqrt{6}$，求直線l的方程．

解答 解：（1）過點（2，-1）且與直線x+y-1=0垂直的直線方程為x-y-3=0，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x\\ x-y-3=0\end{array}$ 解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}$，
所以圓心M的坐標為（1，-2），…（4分）
所以圓M的半徑為r=$\sqrt{2}$，…（6分）
所以圓M的方程為 （x-1）²+（y+2）²=2．                   …（7分）
（2）因為直線l被圓M截得的弦長為$\sqrt{6}$，
所以圓心M到直線l的距離為d=$\sqrt{2-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
若直線l的斜率不存在，則l為x=0，此時，圓心M到l的距離為1，不符合題意．
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx，即kx-y=0，
由d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（11分）
整理得k²+8k+7=0，
解得k=-1或-7，…（13分）
所以直線l的方程為x+y=0或7x+y=0．                …（14分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．