Question

10．已知$x=\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一條對稱軸，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位所得圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)$x=\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一條對稱軸，得到f（x）$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再根據(jù)圖象的平移和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{1}{a}$，已知$x=\frac{π}{4}$是函數(shù)f（x）=asinx+cosx的一條對稱軸，
∴$\frac{π}{4}$+θ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴θ=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
當k=0時，θ=$\frac{π}{4}$
∴函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位所得圖象$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+$\frac{π}{4}$-φ），
∵將函數(shù)f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位所得圖象關(guān)于y軸對稱，
∴$\frac{π}{4}$-φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z，又φ＞0，
∴φ的最小值為$\frac{3π}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}π$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．