Question

11．已知在三棱錐P-ABC中，AP=AB=AC=1，BC=PB=PC=$\sqrt{2}$，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為3π．

Answer 1

分析 由題意可知A在底面PBC的投影為底面正三角形的中心，設(shè)球半徑為r，用r表示出由球心，△PBC的中心和P點構(gòu)成的直角三角形的三邊，使用勾股定理解出r，得出球的面積．

解答 解：∵BC=PB=PC=$\sqrt{2}$，AP=AB=AC=1，
∴三棱錐A-PBC為正三棱錐，
作AO⊥平面PBC，則O為正三角形PBC的中心，且PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴OA=$\sqrt{P{A}^{2}-O{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)外接球球心為M，半徑為r，則PM=r，MO=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$-r|，
由勾股定理得：r²=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-r）²，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球的表面積S=4πr²=3π．
故答案為：3π．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．