Question

1．△ABC是正三角形，平面ABC外有一點O，且OA=OB=OC，截面PQRS平行于OA和BC，則四邊形PQRS是距形．

Answer 1

分析 由條件可知三棱錐的正三棱錐，作三棱錐的高線OO′，則可證BC⊥平面OAO′，于是BC⊥OA，由線面平行的性質可得截面四邊形為平行四邊形，由于四邊形的兩鄰邊分別與OA，BC平行，故而四邊形的兩鄰邊互相垂直．

解答 解：∵△ABC是正三角形，且OA=OB=OC，
∴三棱錐O-ABC為正三棱錐，
∵OA∥平面PQRS，OA?平面OAC，平面OAC∩平面PQRS=RS，
∴RS∥OA，
同理可得OA∥PQ，BC∥PS，BC∥QR，
∴RS∥PQ，RQ∥PS，
∴四邊形PQRS是平行四邊形．
作OO′⊥平面ABC，則O′為△ABC的中心，連結AO′并延長交BC與D，則AD⊥BC，
∵OO′⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴OO′⊥BC，又AD⊥BC，AD?平面OAD，OO′?平面OAD，OO′∩AD=O′，
∴BC⊥平面OAD，∵OA?平面OAD，
∴BC⊥OA，
∵PS∥BC，OA∥SR，
∴PS⊥SR，
∴平行四邊形PQRS是矩形．
故答案為：矩形．

點評 本題考查了線面平行的性質，線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．