Question

6．如圖，設正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是AD和CC₁的中點．
（1）求證：A₁E⊥BF；
（2）求異面直線A₁E與CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁E⊥BF．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$，利用向量法能求出異面直線A₁E與CD₁所成角的余弦值．

解答 證明：（1以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E、F分別是AD和CC₁的中點，
∴A₁（0，0，2），E（0，1，0），B（2，0，0），F（2，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0+2-2=0，
∴A₁E⊥BF．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），C（2，2，0），D₁（0，2，2），
$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（-2，0，2），
設異面直線A₁E與CD₁所成角為θ，
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$|=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線A₁E與CD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．