分析 (1)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明A1E⊥BF.
(2)求出$\overrightarrow{{A}_{1}E}$,$\overrightarrow{C{D}_{1}}$,利用向量法能求出異面直線A1E與CD1所成角的余弦值.
解答 證明:(1以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標系,
∵正方形ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是AD和CC1的中點,
∴A1(0,0,2),E(0,1,0),B(2,0,0),F(xiàn)(2,2,1),
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(0,1,-2),$\overrightarrow{BF}$=(0,2,1),
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0+2-2=0,
∴A1E⊥BF.
解:(2)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(0,1,-2),C(2,2,0),D1(0,2,2),
$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=(-2,0,2),
設異面直線A1E與CD1所成角為θ,
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$|=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
∴異面直線A1E與CD1所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
點評 本考查異面直線垂直的證明,考查異面直線所成角的余弦值的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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