Question

3．對任意的實數(shù)m，n，當(dāng)0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，恒有$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{{n}^{a}}{{m}^{a}}$成立，則實數(shù)a的最小值為1．

Answer 1

分析 由條件化簡可得原不等式即為n${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞m${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，可得lnn${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞lnm${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，可得$\frac{lnm}{\frac{1}{m}-a}$＜$\frac{lnn}{\frac{1}{n}-a}$，設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{\frac{1}{x}-a}$，求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，再由f′（x）≤0恒成立，即可求得a的最小值．

解答 解：由0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，
$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{{n}^{a}}{{m}^{a}}$即為$\frac{{n}^{\frac{1}{m}}}{{n}^{a}}$＞$\frac{{m}^{\frac{1}{n}}}{{m}^{a}}$，
即有n${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞m${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，
可得lnn${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞lnm${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，
即有（$\frac{1}{m}$-a）lnn＞（$\frac{1}{n}$-a）lnm恒成立，
由$\frac{1}{n}$-a＞$\frac{1}{m}$-a＞0，可得
$\frac{lnm}{\frac{1}{m}-a}$＜$\frac{lnn}{\frac{1}{n}-a}$，
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{\frac{1}{x}-a}$，則f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（\frac{1}{x}-a）+lnx•\frac{1}{{x}^{2}}}{（\frac{1}{x}-a）^{2}}$，
由0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，可得f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，
可得f′（x）≤0恒成立，即為
$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{x}$-a）+lnx•$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，
即有a≥$\frac{1+lnx}{x}$恒成立，
由g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\frac{1}{a}$≤1即a≥1時，g（x）遞增，a≥$\frac{1+ln\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}}$，
即1≥1-lna，顯然成立；
當(dāng)$\frac{1}{a}$≥1即0＜a≤1時，可得x=1處取得最大值1，即a≥1，
顯然a=1不恒成立．
綜上可得a的最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．