Question

15．已知集合S=$\left\{{k\left|{1≤k≤\frac{{{3^n}-1}}{2}，k∈{N^*}}\right.}\right\}$（n≥2，且n∈N^*）．若存在非空集合S₁，S₂，…，S_n，使得S=S₁∪S₂∪…∪S_n，且S_i∩S_j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），并?x，y∈S_i（i=1，2，…，n），x＞y，都有x-y∉S_i，則稱集合S具有性質(zhì)P，S_i（i=1，2，…，n）稱為集合S的P子集．
（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，試說明集合S具有性質(zhì)P，并寫出相應(yīng)的P子集S₁，S₂；
（Ⅱ）若集合S具有性質(zhì)P，集合T是集合S的一個(gè)P子集，設(shè)T′={s+3ⁿ|s∈T}，求證：?x，y∈T∪T′，x＞y，都有x-y∉T∪T′；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)n≥2，集合S具有性質(zhì)P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)新定義，即可求出的P子集S₁，S₂；
（Ⅱ）分類討論，根據(jù)定義即可證明，
（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，S={1，2，3，4}，令S₁={1，4}，S₂={2，3}，
則S=S₁∪S₂，且對(duì)?x，y∈S_i（i=1，2），x＞y，都有x-y∉S_i，
所以S具有性質(zhì)P．相應(yīng)的P子集為S₁={1，4}，S₂={2，3}．     
（Ⅱ）①若$x，y∈T（1≤y＜x≤\frac{{{3^n}-1}}{2}）$，由已知x-y∉T，
又$x-y≤\frac{{{3^n}-1}}{2}-1＜{3^n}$，所以x-y∉T'．所以x-y∉T∪T'．
②若x，y∈T'，可設(shè)x=s+3ⁿ，y=r+3ⁿ，r，s∈T，且$1≤r＜s≤\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
此時(shí)$x-y=（s+{3^n}）-（r+{3^n}）=s-r≤\frac{{{3^n}-1}}{2}-1＜{3^n}$．
所以x-y∉T'，且x-y=s-r∉T．所以x-y∉T∪T'．
③若y∈T，x=s+3ⁿ∈T'，s∈T，
則$x-y=（s+{3^n}）-y=（s-y）+{3^n}≥（1-\frac{{{3^n}-1}}{2}）+{3^n}=\frac{{{3^n}+3}}{2}＞\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
所以x-y∉T．
又因?yàn)閥∈T，s∈T，所以s-y∉T．所以x-y=（s+3ⁿ）-y=（s-y）+3ⁿ∉T'．
所以x-y∉T∪T'．
綜上，對(duì)于?x，y∈T∪T'，x＞y，都有x-y∉T∪T'．   
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）由（Ⅰ）可知當(dāng)n=2時(shí)，命題成立，即集合S具有性質(zhì)P．
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，命題成立．即$S=\{1，2，3，…，\frac{{{3^k}-1}}{2}\}={S_1}∪{S_2}∪…∪{S_k}$，
且S_i∩S_j=∅（1≤i，j≤n，i≠j），?x，y∈S_i（i=1，2，…，k），x＞y，都有x-y∉S_i．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，記${S'_i}=\{s+{3^k}|s∈{S_i}\}$，i=1，2，…k，
并構(gòu)造如下k+1個(gè)集合：S''₁=S₁∪S'₁，S''₂=S₂∪S'₂，…，S''_k=S_k∪S'_k$\frac{{{3^k}-1}}{2}+r，\frac{{{3^k}-1}}{2}+s∈{S''_{k+1}}$
，${S''_{k+1}}=\{\frac{{{3^k}-1}}{2}+1，\frac{{{3^k}-1}}{2}+2，…，2×\frac{{{3^k}-1}}{2}+1\}$，
顯然S''_i∩S''_j=∅（i≠j）．
又因?yàn)?\frac{{{3^{k+1}}-1}}{2}=3×\frac{{{3^k}-1}}{2}+1$，所以${S''_1}∪{S''_2}∪…∪{S''_k}∪{S''_{k+1}}=\{1，2，3，…，\frac{{{3^{k+1}}-1}}{2}\}$．
下面證明S_i″中任意兩個(gè)元素之差不等于S_i″中的任一元素（i=1，2，…，k+1）．
①若兩個(gè)元素，$1≤r＜s≤\frac{{{3^k}-1}}{2}+1$，
則$（\frac{{{3^k}-1}}{2}+s）-（\frac{{{3^k}-1}}{2}+r）=s-r≤\frac{{{3^k}-1}}{2}$，
所以$（\frac{{{3^k}-1}}{2}+s）-（\frac{{{3^k}-1}}{2}+r）∉{S''_{k+1}}$．
②若兩個(gè)元素都屬于S''_i=S_i∪S'_i（1≤i≤k），
由（Ⅱ）可知，S''_i中任意兩個(gè)元素之差不等于S''_i中的任一數(shù)（i=1，2，…，k+1）．
從而，n=k+1時(shí)命題成立．
綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)n≥2，集合S具有性質(zhì)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了考查了子集的概念，以及性質(zhì)P的定義，還考查了新定義概念的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)新定義的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用，還要能進(jìn)行歸納推理．本題的思維量和計(jì)算量較大，有難度，屬于難題．