Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n項(xiàng)和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差數(shù)列．
（1）計算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根據(jù)以上結(jié)果猜測S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）S_n，S_n+1，2S₁成等差數(shù)列，得到2S_n+1=S_n+S_n+1，可求S₁，S₂，S₃的值；
（2）由（1）猜想S_n的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明．

解答 解：（1）S₁=a₁=1，由已知有2S₂=S₁+2S₂，得S₂=$\frac{3}{2}$，
又2S₃=S₂+2S₂，得S₃=$\frac{7}{4}$
（2）由以上結(jié)果猜測：S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$  

①當(dāng)n=1時，S₁=$\frac{2-1}{{2}^{1-1}}$=1，猜想成立      
②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，則有S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$
當(dāng)n=k+1時，∵2S_k+1=S_k+2S₁，
∴S_k+1=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$+2=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k-1}}$，
 ∴S=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{（k+1）-1}}$，
∴n=k+1時猜想成立，
故由①和②，可知猜想成立

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，第（1）問要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第二問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．