Question

【題目】已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（I）求橢圓的方程；

(II)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn) (均異于點(diǎn))，試探求直線與的斜率之和是否為定值，證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（I）；(II) 證明見(jiàn)解析.

【解析】

（I）根據(jù)離心率和三角形的周長(zhǎng)列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值，從而求得橢圓方程.（II）先求得直線斜率不存在時(shí)，與得斜率之和.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，化簡(jiǎn)后得到.由此判斷出直線與的斜率之和為定值.

（Ⅰ）由題設(shè)知，

由橢圓的定義知：的周長(zhǎng)為，解得.

故因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題設(shè)知，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，

此時(shí)，則.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得.

由題意知，因此設(shè)，

則，

故有直線的斜率之和為

即直線的斜率之和為定值2.