Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長為$2\sqrt{2}$，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，M、N是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，MA⊥平面ABCD，MA∥NC，$MA=NC=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，P為NC上一點(diǎn)，若OP∥平面NEF，求NP：PC．
（Ⅱ）證明：平面MEF⊥平面NEF．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AC∩EF=H，連接NH．由線面平行的性質(zhì)得出OP∥NH，于是$\frac{NP}{PC}=\frac{OH}{OC}$，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出$\frac{OH}{OC}$的值；
（II）連接MH，MN，由勾股定理逆定理證明MH⊥NH，由三線合一證明MH⊥EF，故而得出MH⊥平面NEF，于是平面MEF⊥平面NEF．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩EF=H，連接NH．
∵OP∥平面NEF，OP?平面ACN，平面ACN∩平面NEF=NH，
∴OP∥NH，
∴NP：PC=HO：OC．
∵四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為AB，AD中點(diǎn)，
∴HO：OC=1：2，即NP：PC=1：2．
（Ⅱ）連接MH，MN，
∵M(jìn)A=NC，MA∥NC，
∴四邊形ACNM是平行四邊形，∴MN=AC=4．
∵M(jìn)A=NC=$\sqrt{3}$，AH=$\frac{1}{4}AC$=1，CH=$\frac{3}{4}AC$=3，
∴MH=2，NH=2$\sqrt{3}$．
∴MN²=MH²+NH²，∴MH⊥NH，
又ME=MF，H是EF的中點(diǎn)，∴MH⊥EF，
∵EF?平面NEF，NH?平面NEF，EF∩NH=H，
∴MH⊥平面NEF，又MH?平面MEF
∴平面MEF⊥平面NEF．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，面面垂直的判定，屬于中檔題．