Question

20．已知△ABC的面積為S，且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=S．
（Ⅰ）求tan2B的值；
（Ⅱ）若cosA=$\frac{3}{5}$，且|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|=2，求BC邊中線AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)△ABC的面積，結(jié)合平面向量的數(shù)量積求出tanB的值，再求tan2B的值；
（Ⅱ）根據(jù)tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，從而求出sinC=sinB，
判斷△ABC是等腰三角形，求出底邊上的中線AD的長．

解答 解：（Ⅰ）△ABC的面積為S，且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=S；
∴accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，
解得tanB=2；
∴tan2B=$\frac{2tanB}{1{-tan}^{2}B}$=-$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|=2，∴|$\overrightarrow{BA}$|=2，
又tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=2，
sin²B+cos²B=1
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
又cosA=$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∵sinB=sinC，∴B=C，
∴AB=AC=2，
∴中線AD也是BC邊上的高，
∴AD=ABsinB=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換的應(yīng)用問題，也考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系與應(yīng)用問題，是綜合題．