11.如圖,已知梯形CDEF與△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF,AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,連接BC,BF.
(Ⅰ)若G為AD邊上一點(diǎn),DG=$\frac{1}{3}$DA,求證:EG∥平面BCF;
(Ⅱ)求二面角E-BF-C的余弦值.

分析 (Ⅰ)以D為原點(diǎn),DC為x軸,DE為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明EG∥平面BCF.
(Ⅱ)求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量,利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵梯形CDEF與△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF,
∴以D為原點(diǎn),DC為x軸,DE為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,連接BC,BF.G為AD邊上一點(diǎn),DG=$\frac{1}{3}$DA,
∴E(0,4,0),G(0,0,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),B(3,0,4$\sqrt{3}$),C(12,0,0),F(xiàn)(9,4,0),
$\overrightarrow{BC}$=(9,0,-4$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{BF}$=(6,4,-4$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{EG}$=(0,-4,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),
設(shè)平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=9x-4\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=6x+4y-4\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=3$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(4,3,3$\sqrt{3}$),
∵$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{n}$=-12+12=0,EG?平面BCF,
∴EG∥平面BCF.
解:(Ⅱ)$\overrightarrow{EB}$=(3,-4,4$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{EF}$=(9,0,0),
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=3a-4b+4\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=9a=0}\end{array}\right.$,取c=1,$\overrightarrow{m}$=(0,$\sqrt{3}$,1),
平面BFC的法向量$\overrightarrow{n}$=(4,3,3$\sqrt{3}$),
設(shè)二面角E-BF-C的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{52}}$=$\frac{3\sqrt{39}}{26}$.
∴二面角E-BF-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{39}}{26}$.

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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