Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．設(shè)集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．
（Ⅰ）證明：b=0；
（Ⅱ）求a的最大值．

Answer 1

考點：集合的相等

專題：集合

分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，從而求b；
（Ⅱ）討論a與0的關(guān)系，在a≠0時，因為 A=B，對于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性得到 |

kπ

a

|＞1，求得a的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：顯然集合A≠∅．
設(shè) x₀∈A，則f（x₀）=0．（1分）
因為 A=B，
所以 x₀∈B，即 f（f（x₀））=0，
所以 f（0）=0，（3分）
所以 b=0．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．
①當(dāng)a=0時，顯然滿足A=B．（5分）
②當(dāng)a≠0時，此時A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）
因為 A=B，
所以對于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）
所以對于任意x∈R，sinx≠

kπ

a

，所以 |

kπ

a

|＞1，（8分）
即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．
所以|a|＜π，（9分）
所以整數(shù)a的最大值是3．（10分）

點評：本題考查集合相等的運用以及正弦函數(shù)的有界性的運用，屬于中檔題．