已知奇函數(shù)f（x）=px+
q
x
+r（實數(shù)p、q、r為常數(shù)），且滿足f（1）=
5
2
，f（2）=
17
4
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，
1
2
]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（3）當x∈（0，
1
2
]時，函數(shù)f（x）≥2-m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用
分析：（1）運用奇函數(shù)的定義，可得r=0，再由條件得到p，q的方程，解得即可得到解析式；
（2）運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個步驟；
（3）運用單調(diào)性求出最小值，當x∈（0，
1
2
]時，函數(shù)f（x）≥2-m恒成立即為f（x）min≥2-m，解不等式即可得到范圍．
解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴r=0
∵
f(1)=
5
2
f(2)=
17
4
即有
p+q=
5
2
2p+
q
2
=
17
4
即
p=2
q=
1
2
，
則f（x）=2x+
1
2x
；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，
1
2
]上單調(diào)遞減．
證明：設0＜m＜n≤
1
2
，則f（m）-f（n）=2（m-n）+
1
2m
-
1
2n
=2（m-n）+
n-m
2mn

=
(n-m)(1-4mn)
2mn
，由于0＜m＜n≤
1
2
，則m-n＜0，0＜mn＜
1
4
，1-4mn＞0，
則有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，
1
2
]上單調(diào)遞減；
（3）由（2）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，
1
2
]上單調(diào)遞減，則f（
1
2
）最小，且為2，
當x∈（0，
1
2
]時，函數(shù)f（x）≥2-m恒成立即為f（x）min≥2-m，
即有2≥2-m，解得，m≥0．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于平面向量
a
、
b
、
c
，有下列四種說法：
①若
a
≠0，
a
•
b
=0，則
b
=0；
②若
a
≠0，
a
•
b
=
a
•
c
，則
b
=
c
；
③對任意向量
a
、
b
、
c
，有（
a
•
b
）•
c
=
a
•（
b
•
c
）；
④若
a
∥
b
，
b
∥
c
，則
a
∥
c
，
其中正確的個數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（0，-1），
b
=（cos10°，sin10°），則向量
a
與
b
的夾角大小為：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以（1，3）為圓心，并且與直線3x-4y-6=0相切的圓的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設變量x，y滿足約束條件
x+y-1≥0
x-2y+2≥0
x-1≥0
y≥0
，則目標函數(shù)z=x+2y的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，4]
B、[1，2]
C、[1，4]
D、[1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(
1
2
，
2
2
)，則log8f（2）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（x-1），則f（x）的函數(shù)析式是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0）在區(qū)間[0，
π
4
]上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是
3
，那么ω=（　　）
A、
2
3
B、
4
3
C、2
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a4+a8=10，a10=6，則公差d等于（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、2
D、-
1
2

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