Question

若a＞0，f（x）=-2a（

3

sinxcosx+cos²x）+3a+b，當x∈[0，

π

2

]時，-5≤f（x）≤1．
（1）求a，b的值．
（2）設g（x）=f（x+

π

2

），求lg[g（x）-1]的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數的單調性,象限角、軸線角

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡f（x），再由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，由正弦函數的性質得到最值，即可求得a，b；
（2）求出g（x），令t=4sin（2x+

π

6

）-2＞0，求出x的范圍，再求t的單調區(qū)間，由復合函數的單調性：同增異減，即可得到所求區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=-2a（

3

sinxcosx+cos²x）+3a+b
=-a（

3

sin2x+cos2x+1）+3a+b=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
當x=

π

2

時，f（x）取得最大值且為a+2a+b=1，即為3a+b=1，
當x=

π

6

時，f（x）取得最小值且為-2a+2a+b=-5，即為b=-5，
則有a=2，b=-5；
（2）g（x）=f（x+

π

2

）=-4sin（2x+π+

π

6

）-1=4sin（2x+

π

6

）-1，
則y=lg[g（x）-1]=lg[4sin（2x+

π

6

）-2]，
由4sin（2x+

π

6

）-2＞0，即有sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，
即

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

＜

5π

6

+2kπ，k∈Z，
即有kπ＜x＜kπ+

π

3

，k∈Z．
則t=4sin（2x+

π

6

）-2的增區(qū)間為（kπ，kπ+

π

6

），k∈Z，減區(qū)間為（kπ+

π

6

，kπ+

π

3

）k∈Z．
由于y=lgt在（0，+∞）上遞增，
則有y=lg[g（x）-1]的增區(qū)間為（kπ，kπ+

π

6

），減區(qū)間為（kπ+

π

6

，kπ+

π

3

）k∈Z．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運用，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題．