Question

（文科）已知z=a+bi（a、b∈R，i是虛數(shù)單位），z₁，z₂∈C，定義：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．給出下列命題：
（1）對任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若

.

z

是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則D(

.

z

)=D(z)恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），則z₁=z₂；
（4）對任意z₁、z₂∈C，結(jié)論D（z₁，z₂）=D（z₂，z₁）恒成立，
則其中真命題是（　�。�

• A、（1）（2）（3）（4）
• B、（2）（3）（4）
• C、（2）（4）
• D、（2）（3）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：由新定義逐一核對四個命題得答案．

解答： 解：對于（1），當(dāng)z=0時，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命題（1）錯誤；
對于（2），設(shè)z=a+bi，則

.

z

=a-bi，則D（

.

z

）=|

.

z

|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命題（2）正確；
對于（3），若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），則z₁=z₂錯誤，如z₁=1+i，z₂=1-i，滿足D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），但z₁≠z₂；
對于（4），設(shè)z₁=a+bi，z₂=c+di，則D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，
D（z₂，z₁）=||z₂-z₁||=||（c-a）+（d-b）i||=|c-a|+|d-b|，D（z₁，z₂）=D（z₂，z₁）恒成立（4）正確．
∴正確的命題是（2）（4）．
故選：C．

點(diǎn)評：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了絕對值的不等式，是中檔題．