Question

造船廠年造船量最多20艘，造船x艘產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數(shù)c（x）=460x+5000（單位：萬元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）（利潤=產(chǎn)值-成本）；
（2）問年造船量安排多少艘時，公司造船利潤最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本，及邊際函數(shù)Mf（x）定義得出利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（2）先對利潤函數(shù)P（x）求導(dǎo)數(shù)，P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．

解答： 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N^*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N^*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，
∴當(dāng)0＜x＜12時，
P′（x）＞0，當(dāng)x＞12時，P′（x）＜0，
∴x=12時，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．