Question

【題目】已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，滿足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求f(x)在區(qū)間 [－1，2]上的最大值；

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5（3）.

【解析】

（1）由得，再根據(jù)得到，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖象的開口方向，只需函數(shù)圖象的對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，由此得到不等式，解不等式即可．

(1)由f(0)＝2，得c＝2.

由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，

得2ax＋a＋b＝2x－1，

所以，解得，

所以.

（2）由（1）得，

故函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝1．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又f(－1)＝5，f(2)＝2，

所以f(x)在區(qū)間上的最大值為．

（3）因?yàn)閒(x)的圖象的對稱軸方程為x＝1，且函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)，

所以，或，

解得，或1，

因此的取值范圍為.