Question

7．已知點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)為右焦點，PF垂直于x軸，A，B，C，D為橢圓上四個動點，且AC，BD交于原點O．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，判斷k_AB+k_BC的值是否為定值，若是，求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知a=2b²，a²-b²=c²=3，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由4y₁y₂=x₁x₂，當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合4y₁y₂=x₁x₂，求得k，把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù)，利用基本不等式求其最值，進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：PF垂直于x軸，則c=$\sqrt{3}$，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2b²，
a²-b²=c²=3，
則a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，4y₁y₂=x₁x₂，
若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時），不滿足4y₁y₂=x₁x₂；
直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（4k²-1）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（4k²-1）$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+4km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+4m²=0．
整理得：k=±$\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以輪換，
∴AB、BC的斜率一個是$\frac{1}{2}$，另一個就是-$\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，是定值．
不妨設(shè)k_AB=-$\frac{1}{2}$，則x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1）．
設(shè)原點到直線AB的距離為d，則S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}{+x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
當(dāng)m²=1時滿足①取等號．
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4．
∴四邊形ABCD面積的最大值為4．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．