Question

12．若向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{2}$sinx-1），$\overrightarrow$=（sinx，$\sqrt{2}$sinx+1），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中角B為銳角，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（B）=1，且△ABC的面積為3，a+c=2+3$\sqrt{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x），從而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）求出B的角度，求出ac，根據(jù)余弦定理求出b的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
所以f（x）_max=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）易得B=$\frac{π}{4}$，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=3，
所以ac=6$\sqrt{2}$，由于a+c=2+3$\sqrt{2}$，
由 b²=a²+c²-2accosB，
得：b²=（a+c）²-2ac-2accosB=${（2+3\sqrt{2}）}^{2}$-12$\sqrt{2}$-12$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$，
得b=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的運(yùn)算，考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，是一道中檔題．