Question

20．已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數），且函數f（x）和g（x）的圖象與y軸的交點重合．
（1）求a實數的值
（2）若h（x）=f（x）+b$\sqrt{g（x）}$（b為常數）試討論函數h（x）的奇偶性；
（3）若關于x的不等式f（x）-2$\sqrt{g（x）}$＞a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．
（2）利用奇偶函數的定義，確定b的值，進而可得函數的奇偶性．
（3）關于x的不等式f（x）-2$\sqrt{g（x）}$＞a有解轉化為|x-1|-2|x+1|的最大值大于或等于a，畫出函數畫出函數y=|x-1|-2|x+1|的圖象，由圖象可得答案．

解答 解：（1）由題意得：
f（0）=g（0），
即|a|=1，
又∵a＞0，
∴a=1．
（2）由（1）可知，f（x）=|x-1|，
g（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴h（x）=f（x）+b$\sqrt{g（x）}$
=|x-1|+b|x+1|，
若h（x）為偶函數，即h（x）=h（-x），則有b=1，此時h（2）=4，h（-2）=4，
故h（2）≠-h（-2），即h（x）不為奇函數；
若h（x）為奇函數，即h（x）=-h（-x），則b=-1，此時h（2）=2，h（-2）=-2，
故h（2）≠h（-2），即h（x）不為偶函數；
綜上，當且僅當b=1時，函數h（x）為偶函數，且不為奇函數，
當且僅當b=-1時，函數h（x）為奇函數，且不為偶函數，
當b≠±1時，函數h（x）既非奇函數又非偶函數．
（3）關于x的不等式f（x）-2$\sqrt{g（x）}$＞a有解，
即x的不等式|x-1|-2|x+1|＞a有解
故|x-1|-2|x+1|的最大值大于或等于a，
畫出函數y=|x-1|-2|x+1|的圖象，如圖所示：
由圖象可知，|x-1|-2|x+1|的最大值為2，
∴a＜2

點評 本題考查函數的性質，考查函數的奇偶性，正確運用函數奇偶性的定義是關鍵，屬于中檔題