Question

20．已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，1），且f（$\frac{1}{2}$）=0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，不等式（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x）恒成立，那么不等式f（x）＜0的解集為（　�。�

• A． {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜0或$\frac{1}{2}$＜x＜1}
• B． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜x＜1}
• C． {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$且x≠0}
• D． {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$}

Answer 1

分析 由已知不等式關(guān)系構(gòu)造g（x）=f（x）•ln（1-x²），求出其g（x）的單調(diào)區(qū)間及大致函數(shù)圖象，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）＜0的解集．

解答 解：因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，所以不等式f（x）＜0的解集也應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的，所以D排除；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，不等式（$\frac{1}{x}$-x）f′（x）•ln（1-x²）＞2f（x）恒成立，
即f′（x）•ln（1-x²）＞$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$恒成立，
f′（x）•ln（1-x²）-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}f（x）$＞0恒成立，
[ln（1-x²）]′=-$\frac{2x}{1-{x}^{2}}$
設(shè)：g（x）=f（x）•ln（1-x²）
∴[f（x）•ln（1-x²）]′＞0恒成立，
g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)y=ln（1-x²）是偶函數(shù)，
∴g（x）=f（x）•ln（1-x²）是偶函數(shù)，
∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
∵f（x）為偶函數(shù)，f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴g（-$\frac{1}{2}$）=g（$\frac{1}{2}$）=g（0）=0，所以g（x）的圖象如下：
∴x∈（$\frac{1}{2}，1$）時(shí)，g（x）＞0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＜0成立，
而x∈（$0，\frac{1}{2}$）時(shí)，g（x）＜0，而ln（1-x²）＜0，所以f（x）＞0成立；
又由函數(shù)f（x）的圖象對(duì)稱(chēng)性可知，
不等式f（x）＜0的解集為：$\{x丨-1＜x＜-\frac{1}{2}或\frac{1}{2}＜x＜1\}$．
故答案選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)及利用導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．