Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：2≤a²_n+1-a²_n≤3；
（Ⅱ）求證：$\frac{3n-1}{3n-2}≤\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}≤\frac{2n}{2n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡可得0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1，從而可得a_n+1²=a_n²+（$\frac{1}{{a}_{n}}$）²+2，從而證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n-1＜a_n+1²≤3n+1，從而可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[$\frac{3n-1}{3n-2}$，$\frac{2n}{2n-1}$]．

解答 證明：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a_n≥1，0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1；
∵a_n+1²=a_n²+（$\frac{1}{{a}_{n}}$）²+2，
∴a_n+1²-a_n²=2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[2，3]，
故$2≤{{a}^{2}}_{n+1}-{{a}^{2}}_{n}≤3$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n＜a_n+1²-a₁²≤3n，
所以2n-1＜a_n+1²≤3n+1，
當(dāng)n=0時，上式也成立，
故$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[$\frac{3n-1}{3n-2}$，$\frac{2n}{2n-1}$]．
故$\frac{3n-1}{3n-2}≤\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}≤\frac{2n}{2n-1}$．

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．