Question

【題目】已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中為原點(diǎn)），求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和左、右頂點(diǎn)坐標(biāo),則由題意可得雙曲線的,進(jìn)而求解即可；

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用韋達(dá)定理得到及的關(guān)系,代入可得的范圍；再由兩個(gè)不同的交點(diǎn),則,求得的范圍,二者求交集即可得到結(jié)果

解：（1）由題,在橢圓中,焦點(diǎn)坐標(biāo)為和；左右頂點(diǎn)為和,

因?yàn)殡p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn),

所以在雙曲線中,設(shè)雙曲線方程為,則,所以,

所以雙曲線的方程為

（2）由（1）聯(lián)立,消去,得①；

消去,得②

設(shè),則為方程①的兩根,為方程②的兩根；

，

,

得或③,

又因?yàn)榉匠?/span>①中,,得④,

③④聯(lián)立得的取值范圍