Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且|x₁-x₂|＞|f（x₁）-f（x₂）|，且f（x₁）=x₁，則關(guān)于3af（x）²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)數(shù)根有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩根，從而關(guān)于f（x）的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
由題意知x₁，x₂是方程3x²+2ax+b=0的兩根，即x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
不妨設(shè)x₂＞x₁，從而關(guān)于f（x）的方程3a[f（x）]²+2b[f（x）]+c=0有兩個(gè)根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根據(jù)題意畫圖，
所以f（x）=x₁有兩個(gè)不等實(shí)根，f（x）=x₂只有一個(gè)不等實(shí)根，
綜上方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想．