Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（x≠0，a∈R）
（1）當(dāng)a=4時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

4

x

，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）令f′（x）=1-

a

x2

≥0，求得f（x）的增區(qū)間為[a，+∞），再函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

4

x

，設(shè)x₂＞x₁≥2，則有 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1•x2

 
=（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

），
∵x₂＞x₁≥2，∴x₁-x₂＜0，1-

4

x1•x2

＞0，∴（x₁-x₂）（1-

4

x1•x2

）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）令f′（x）=1-

a

x2

≥0，可得x²≥a，故f（x）的增區(qū)間為[a，+∞），若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則有a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．