Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．關(guān)于函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，下列判斷不正確的是（　　）

• A． 若t＜-2，g（x）有四個(gè)零點(diǎn)
• B． 若t=-2，g（x）有三個(gè)零點(diǎn)
• C． 若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
• D． 若t=$\frac{1}{4}$，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，令m=f（x），可得m≥1時(shí)，m=f（x）有兩根，m＜1時(shí)，m=f（x）有一根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析t取不同值時(shí)，g（x）=m²+m+t根的個(gè)數(shù)及分面情況，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{lo{g}_{3}（-x），x＜0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

令m=f（x），m≥1時(shí)，m=f（x）有兩根，m＜1時(shí)，m=f（x）有一根，
若t＜-2，則m²+m+t=0有兩個(gè)根，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1
此時(shí)，g（x）=0有三個(gè)根，故A錯(cuò)誤；
若t=-2，則由m²+m+t=0得m=-2，m=1，
此時(shí)g（x）=0有三個(gè)根，
即g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，則m²+m+t=0有兩個(gè)根，但均小于1
此時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根，故C正確；
若t=$\frac{1}{4}$，則g（x）=f²（x）+f（x）+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）²=0，
此時(shí)m=-$\frac{1}{2}$，由上圖可得，此時(shí)函數(shù)m=0有一個(gè)根，
即g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中畫出函數(shù)f（x）的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．