【題目】如圖,在多面體中,平面
⊥平面
,
,
,DE
AC,AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的長;
(Ⅱ)已知,求點(diǎn)E到平面BCD的距離的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(Ⅰ) 先由面面垂直的性質(zhì)可得平面
,
平面
,可得
,再證明
平面
,于是得
,由勾股定理可得結(jié)果;(Ⅱ)過
作直線
,以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
分別為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖所示. 記
,求出平面的一個(gè)法向量,利用點(diǎn)
到平面
的距離,結(jié)合
,可得點(diǎn)
到平面
的距離的最大值.
詳解:(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC,且交線為AB,而AC⊥AB,∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC,∴DE⊥平面ABD,從而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE,且DE∩AE=E,∴BD⊥平面ADE,于是,BD⊥AD.
而AD=BD=1,∴.
(Ⅱ)∵AD=BD,取AB的中點(diǎn)為O,∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC.
過O作直線OY∥AC,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OB,OY,OD分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖所示.
記,則
,
,
,
,
,
.
令平面BCD的一個(gè)法向量為.
由得
.令
,得
.
又∵,∴點(diǎn)E到平面BCD的距離
.
∵,∴當(dāng)
時(shí),
取得最大值,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子和
中均裝有若干個(gè)大小相同的紅球和白球,從
中摸出一個(gè)紅球的概率是
,從
中摸出一個(gè)紅球的概率為
.
(1)從中有放回地摸球,每次摸出1個(gè),有3次摸到紅球即停止,求恰好摸5次停止的概率.
(2)若、
兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為
,將
、
中的球裝在一起后,從中摸出一個(gè)紅球的概率是
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新個(gè)稅法于2019年1月1日進(jìn)行實(shí)施.為了調(diào)查國企員工對(duì)新個(gè)稅法的滿意程度,研究人員在地各個(gè)國企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖,其中
.
(1)求的值并估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù);(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)若按照分層抽樣從,
中隨機(jī)抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人的分?jǐn)?shù)在
的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在
處的切線為
,當(dāng)實(shí)數(shù)
變化時(shí),求證:直線
經(jīng)過定點(diǎn);
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,點(diǎn)
在
圖象上,且
的最小值為
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列滿足
,記數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),
,求
的值;
(2)若,求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)若對(duì)任意的,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”他們的調(diào)查結(jié)果如下:
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(�。┣蟪槿〉奈目粕屠砜粕娜藬�(shù);
(ⅱ)從10人的樣本中隨機(jī)抽取兩人,求兩人都是文科生的概率.
參考數(shù)據(jù):
,
.
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