Question

10．已知a＞0，用綜合法或分析法證明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．

Answer 1

分析 根據(jù)分析證明不等式的步驟完成即可

解答 證明：要證明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．
只要證$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$．
∵a＞0，故只要證（$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2）²≥（a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$）²．
即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+4$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+4≥a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$）+2，
從而只要證2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只要證4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥2（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2），
即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，
而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．

點評 本題考查分析法證明不等式成立的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．