Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為20，求它在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²+6x-9，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）推導(dǎo)出f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）=3x²+6x-9＞0，解得x＜-3或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3]，[1，+∞）．
（2）∵f（x）=x³+3x²-9x+a，
∴f（-2）=22+a，f（2）=20+a，
∴f（-2）＞f（2）．
∵在（-3，3）上f′（x）＞0，∴f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，
∴f（2）和f（-1）分別是f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，
∵f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為20，
∴f（-1）=-1+3+9+a=11+a=20，解得 a=9．
故f（x）=-x³+3x²+9x+9，
∴f（2）=22+a=22+9=31，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值的求法，考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．