Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由條件可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=3$，從而根據(jù)向量夾角余弦的計(jì)算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞$的值，從而得出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件：
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{4-2+1}$
=$\sqrt{3}$；
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4-1=3$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的方法，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍．