Question

8．已知實數(shù)x，y，實數(shù)a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2，
（1）若ab=4，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2；
（2）a²+b=8，則$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值是4．

Answer 1

分析 （1）由a^x=b^y=2，可得x=log_a2，y=log_b2，代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$，即可得出．
（2）又a²+b=8，可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_2}$=log（a²b），再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a^x=b^y=2，∴x=log_a2，y=log_b2，由ab=4，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_2}$=log₂（ab）=2．
（2）又a²+b=8，∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_2}$=log（a²b）≤$lo{g}_{2}（\frac{{a}^{2}+b}{2}）^{2}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a²=b=4時取等號，因此最大值為4．
故答案分別為：2；4．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．