Question

8．已知函數f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x$-\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小值，并寫出取得最小值時的自變量x的集合．
（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，利用正弦函數的圖象和性質即可求解．
（2）由已知可求sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，結合范圍0＜C＜π，可求C=$\frac{π}{3}$，由已知及正弦定理可得b=2a，進而由余弦定理可得a²+b²-ab=3，聯立即可解得a，b的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$$-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…4分
∴當2x-$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）時，f（x）的最小值為-2，…6分
此時自變量x的集合為：{x/x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}…7分
（2）∵f（C）=0，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，
又∵0＜C＜π，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：C=$\frac{π}{3}$，…9分
∵sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a①，又c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：（$\sqrt{3}$）²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，可得：a²+b²-ab=3②，…13分
∴聯立①②解得：a=1，b=2…14分

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了數形結合思想及轉化思想的應用，屬于基礎題．