Question

（12分）（原創(chuàng)）已知函數滿足以下條件：①定義在正實數集上；②；③對任意實數，都有。

（1）求,的值；

（2）求證：對于任意，都有;

（3）若不等式,對恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【解析】

試題分析：先利用賦值法求出，（2）根據抽象函數表達式可以看出只是一個對數函數模型，借助可以求出函數原型：，但證明時需利用，所以取兩個指數型的正數，去考察和即可；（3）首先利用賦值法證明函數在上是減函數，再考慮式子在上有意義，求出的要求，即定義域優(yōu)先考慮，然后要求，最后借助函數是減函數，解不等式，即

，最終求出的范圍，本題難度較大，需認真解每一步.

試題解析：（1）令，得：,,,

（2）證明：設，均為正數 ,則存在使得，

（3）先證在正實數集上單調遞減：

設，且,令：，（），，， 則由（2）知

-==，則函數在上是減函數.

再求取值范圍：

因為且，又，在區(qū)間上有定義

定義在正實數集上 可得：

，對恒成立，……（1）

,對恒成立，恒成立……（2）

由（2）中令 ,得：，則原不等式可整理為：

直線在左側，令

在上為減函數，需要最大值為，即，

（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范圍是

考點：1.賦值法；2.抽象函數的單調性的證明；3.利用抽象函數的增減性解不等式；