Question

（1）用分析法證明：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大．
（2）用反證法已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b=c+d=1，ab+cd＞1，求證a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)．（提示：ac≤

ac

≤

a+c

2

，bd≤

bd

≤

b+c

2

）

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：分析法,綜合法

分析：（1）依題意，圓的面積為π•(

l

2π

)2，正方形的面積為(

l

4

)2，根據(jù)分析法的證明步驟可得結(jié)論；
（2）利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，找出矛盾即可．

解答： 證明：（1）設(shè)一個圓和一個正方形的周長相等，都為l，依題意，圓的面積為π•(

l

2π

)2，正方形的面積為(

l

4

)2．因此本題只需證明π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
兩邊同乘以正數(shù)

4

l2

，得

1

π

＞

1

4

．
因此，只需證明4＞π．
因?yàn)?＞π恒成立，所以π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大（2）假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，
∵a+b=c+d=1，
∴（a+b）（c+d）=1．
∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．
這與ac+bd＞1矛盾．
所以假設(shè)不成立，即a、b、c、d中至少有一個負(fù)數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查考查反證法，考查分析法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，反證法的定義：從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明．