Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（-

1

2

）≤-

3

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1，x∈[-2，2]，記函數(shù)F（x）的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)已知條件即可得到

-a2 4 ≥-1 1 4 - a 2 ≤- 3 4

，解不等式即可求出a，從而求出f（x）；
（2）求出F（x）是個二次函數(shù)，所以討論對稱軸與區(qū)間[-2，2]的關系即可求出在每種情況下的最小值，然后把最小值g（k）寫出來即可．

解答： 解：（1）由已知條件知：

-a2 4 ≥-1 1 4 - a 2 ≤- 3 4

，解得a=2；
∴f（x）=x²+2x；
（2）F（x）=x²+（2-k）x+1；
對稱軸是x=

k-2

2

；
∴若2≤

k-2

2

，即k≥6，則F（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，∴g（k）=F（2）=9-2k；
若-2＜

k-2

2

＜2，即-2＜k＜6，g（k）=F（

k-2

2

）=

4k-k2

4

；
若-2≥

k-2

2

，即k≤-2，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，∴g（k）=F（-2）=2k+1；
∴g(k)=

9-2k k≥6 4k-k2 4 -2＜k＜6 2k+1 k＜-2

．

點評：考查二次函數(shù)的最小值，根據(jù)條件求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性，二次函數(shù)的最值．