Question

對于在區(qū)間[p，q]上有意義的兩個函數(shù)f（x），g（x），如果對于任意的x∈[p，q]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x），g（x）在區(qū)間[p，q]上是“接近的”兩個函數(shù)，否則稱它們在區(qū)間[p，q]上是“非接近的”兩個函數(shù)．現(xiàn)有兩個函數(shù)f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a

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x-a

（a＞0，a≠1）給定一個區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）若f（x）在區(qū)間[a+2，a+3]有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）討論f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否是“接近的”．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)定義域之間的關(guān)系，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)“接近的”的定義和條件即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）要使f（x）有意義，則有

x-3a＞0 a＞0且a≠1

⇒x＞3a，
要使f（x）在[a+2，a+3]上有意義，等價于真數(shù)的最小值大于0，
即

a+2-3a＞0 a＞0且a≠1

，即0＜a＜1；
（2）|f（x）-g（x）|=|log_a[（x-3a）（x-a）]|=|log_a（x²-4ax+3a²）|=|log_a[（x-2a）²-a²|
當(dāng)x∈[a+2，a+3]時，（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]，
令h（x）=log_a[（x-3a）（x-a）]=log_a（x²-4ax+3a²）．
所以h（x）_min=h（a+3）=log_a（9-6a），h（x）_max=h（a+2）=log_a（4-4a）．
要使|f（x）-g（x）|≤1，
則

loga(4-4a)≤1 loga(9-6a)≥-1 0＜a＜1

，解得：0＜a≤

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．
所以當(dāng)a∈(0， 

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]時，f（x）與g（x）是接近的；
當(dāng)a∈（

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，1）時，f（x）與g（x）是非接近的兩個函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及與函數(shù)有關(guān)的新定義，考查學(xué)生的運算能力．