Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若常數(shù)，且對任何，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

【解析】

（1）時(shí)，方程有三個(gè)解，即函數(shù)與在上有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得出結(jié)論；

（2）不等式恒成立，由，可得，令，可知，所以恒成立，只需，分別求出，即可得出答案.

（1）時(shí)，，令，則.

令，則，

作出的圖象，如下圖：

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，.

方程在上有三個(gè)解，即函數(shù)與在上有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得，解得.

（2）由題意，恒成立，

由，可得，即，所以，

令，由，可知，所以恒成立，只需滿足.

①因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以；

②函數(shù)在上的單調(diào)性為：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.