Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x-1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，由已知得|2x-2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，得|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{3-a}{2}$，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|2x-2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x-2|+2≤6，
|2x-2|≤4，|x-1|≤2，
∴-2≤x-1≤2，
解得-1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x-1|，
∴f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，
2|x-$\frac{1}{2}$|+2|x-$\frac{a}{2}$|+a≥3，
|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{3-a}{2}$，
當(dāng)a≥3時(shí)，成立，
當(dāng)a＜3時(shí)，|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{a}{2}$|≥$\frac{1}{2}$|a-1|≥$\frac{3-a}{2}$＞0，
∴（a-1）²≥（3-a）²，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查含絕對值不等式的解法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．