Question

1．已知ω=z+i（z∈C，i是虛數(shù)單位），且$\frac{z-2}{z+2}$為純虛數(shù)，M=|ω+1|²+|ω-1|²，求M的最大值及取得最大值時(shí)ω的值．

Answer 1

分析 設(shè)出2，-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則由$\frac{z-2}{z+2}$為純虛數(shù)的充要條件是角AZB是直角列式，得到M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1），由ω的軌跡得到|ω|的范圍，從而求得MD的最大值即相應(yīng)ω的值．

解答 解：設(shè)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A，-2對(duì)應(yīng)B，z對(duì)應(yīng)Z點(diǎn)
那么$\frac{z-2}{z+2}$為純虛數(shù)的充要條件是角AZB是直角（z-2與z+2的輻角之差）
那么Z就在以AB為直徑的圓上，也就是|z|=2，那么|w-i|=2
M=|ω+1|²+|ω-1|²=2（|w|²+1）
|ω|表示的是ω點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，又ω的軌跡是以i為中心，2為半徑的圓，它到原點(diǎn)的最大距離是3
也就是|ω|最大值是3，那么M最大值是20，此時(shí)ω=3i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，是中檔題．