Question

18．已知關(guān)于x的不等式mx²+2x+6m＞0，在下列條件下分別求m的值或取值范圍：
（1）不等式的解集為{x|2＜x＜3}；      
（2）不等式的解集為R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式與它對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出m的值；      
（2）根據(jù)一元二次不等式恒成立的條件，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式mx²+2x+6m＞0，
∴當(dāng)不等式的解集為{x|2＜x＜3}時(shí)，
方程mx²+2x+6m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2和3，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
2+3=-$\frac{2}{m}$，
解得m=-$\frac{2}{5}$；      
（2）當(dāng)不等式的解集為R時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-2{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m＜-\frac{\sqrt{6}}{6}或m＞\frac{\sqrt{6}}{6}}\end{array}\right.$，
即m＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式恒成立問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．