Question

9．已知二次函數f（x）滿足不等式f（x）＜5x-2的解集是（1，2），且f（x）的圖象過點（-1，-1）．記函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\\{-f（x），x≤0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并畫出g（x）的圖象；
（Ⅱ）求關于x的方程2g²（x）-5g（x）+2=0不同的根的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可設f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2，且a＞0，將（-1，-1）代入可得f（x）的解析式，進而可得g（x）的解析式，畫出g（x）的圖象；
（Ⅱ）設t=g（x），則方程2g²（x）-5g（x）+2=0可化為：2t²-5t+2=0，結合（I）中圖象，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）＜5x-2的解集是（1，2），
故可設f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2，且a＞0，
又因為f（x）的圖象過點（-1，-1），
所以a=1
所以f（x）=（x-1）（x-2）+5x-2=x²+2x．…（4分）
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{2}x|，x＞0\\-{x}^{2}-2x，x≤0\end{array}\right.$．其圖象如下圖所示：…（8分）

（Ⅱ）設t=g（x），則方程2g²（x）-5g（x）+2=0可化為：2t²-5t+2=0，
解得：t=$\frac{1}{2}$或t=2
即g（x）=$\frac{1}{2}$或g（x）=2，
由（I）圖象可知方程g（x）=$\frac{1}{2}$有4個不同根，
方程g（x）=2有2個不同根．
從而所求方程共有6個不同的根．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，分段函數的應用，數形結合思想，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．