Question

20．設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-|x-2|}+1（x≠2）}\\{a（x=2）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布情況，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

設(shè)t=f（x），則方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0等價為2t²-（2a+3）t+3a=0，即（t-a）（2t-3）=0，
得t=$\frac{3}{2}$或t=a，
當t=$\frac{3}{2}$時，f（x）=t=$\frac{3}{2}$此時有兩個根，
要使方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數(shù)解，
則等價為f（x）=a，有三個不同的根，
即1＜a＜2，且a≠$\frac{3}{2}$，
即a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一定的難度．