Question

4．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n，若S_n+S_n+2≤2S_n+1，則公比q的取值范圍為（0，1]．

Answer 1

分析 當(dāng)q=1時(shí)，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}$=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立；當(dāng)q＞1時(shí)，（q-1）²≤0，不等式無解，當(dāng)q＜1時(shí)，（q-1）²≥0，解得q＜1．由此能求出公比q的取值范圍．

解答 解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n，S_n+S_n+2≤2S_n+1，
∴當(dāng)q=1時(shí)，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}$=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立，
當(dāng)q≠1時(shí)，$\frac{{S}_{n}+{S}_{n+2}}{2}≤{S}_{n+1}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+2}）}{1-q}}{2}$≤$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n+1}）}{1-q}$，
當(dāng)q＞1時(shí)，整理，得（q-1）²≤0，不等式無解，
當(dāng)q＜1時(shí)，整理，得（q-1）²≥0，解得q＜1．
∴公比q的取值范圍為（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．