Question

18．方程3^x+4^x=6^x解的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 方程轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1=0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x）$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1為減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可判斷．

解答 解：方程3^x+4^x=6^x等價(jià)于3^x+（2^x）²=2^x•3^x，
即為$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1=0，
因?yàn)閥=（$\frac{1}{2}$）^x，y=（$\frac{2}{3}$）^x，均為減函數(shù)，
所以f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+（$\frac{2}{3}$）^x-1為減函數(shù)，
因?yàn)閒（1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$-1=$\frac{1}{6}$＞0，f（2）=$\frac{1}{4}$+$\frac{4}{9}$-1=-$\frac{11}{36}$＜0，
所以f（x）在（1，2）上有唯一的零點(diǎn)，
故方程3^x+4^x=6^x解的個(gè)數(shù)是1個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)f（x）單調(diào)遞減是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．